Mese: Agosto 2020

Generalizzando il prodotto vettoriale geometrico allo spazio R3, si genera una algebra di Clifford CL(3),.

In Cl(3) si generano 3 bivettori unitari, ciascuno relativo al piano 3 dimensionale racchiuso tra ogni coppia di vettori base. Poichè ogni bivettore quadra a -1 e quindi si identifica con l’unità immaginaria, abbiamo un sistema di numeri complessi per ogni piano dello spazio 3D

Inoltre, con il prodotto geometrico dei tre vettori base di R3 si genera un nuovo trivettore unitario, anch’esso con le proprietà dell”unità immaginaria, perchè il suo quadrato si riduce allo scalare -1. Geometricamente il trivettore rappresenta il segmento orientato di spazio racchiuso dal parallelepipedo generato dallo scorrimento dei tre vettori unitari in una circolarità destrorsa o sinistrorsa.

Il prodotto geometrico in tre dimensioni è identificabile con la combinazione del prodotto vettoriale interno ed esterno della algebra vettoriale standard. Il prodotto geometrico in 3D sostituisce quindi sia il prodotto interno che il prodotto esterno, e quest’ultimo si rivela essere il duale della parte asimmetrica del prodotto geometrico.

La rappresentazione della rotazione di vettori in R^(3 ) tramite il prodotto geometrico porta alla definizione generalizzata di un operatore di rotazione,  che funziona in ogni spazio vettoriale di qualunque dimensione e con ogni oggtto geometrico. Per questo l’algebra geometrica trova piena applicazione nella grafica tridimensionale e nella rtappresentazione delle simmetrie dell’algebra molecolare.

Nello spazio vettoriale R2 l’inserimento del prodotto geometrico tra vettori arricchisce la struttura astratta dello spazio vettoriale, che diventa una “algebra” sul campo dei numeri reali. Questa algebra che si basa su uno spazio vettoriale bidimensionale si chiama algebra di Clifford Cl(2).

Gli elementi dell’algebra Cl(2) si chiamano multivettori e si distinguono per “grado”.

I multivettori di grado 0 sono equivalenti ai numeri reali, i multivettori di grado 1 coincidono con i vettori di R2, mentre i bivettori, cioè multivettori di grado due, sono oggetti specifici dell’algebra di Clifford Cl(2) e nascono dal prodotto geometrico di due vettori.

Il prodotto geometrico include sia il prodotto interno che il prodotto esterno in una unica formulazione, il che permette di interpretare le operazioni geometriche di proiezione (prodotto interno) e di misurazione di aree (prodotto esterno) come operazioni elementari di Cl(2).

I numeri complessi, la cui natura vettoriale è incompatibile con lo spazio R2, si rivelano essere multivettori di un sottospazio di Cl(2).

Il prodotto geometrico tra due vettori contemporaneamente riscala e ruota i vettori, e questo permette di identificare un multivettore come un operatore di rotazione che agisce sui vettori senza uso di matrici.

In questa serie di video si espongono i principi fondamentali dell’algebra geometrica di William Clifford. In questo secondo video si dà come acquisito che Il vettore sia un oggetto astratto di uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno. Il caso generale è lo spazio n-dimensionale R^n , dove i vettori sono ennuple di numeri reali. L’algebra geometrica è una estensione delle operazioni algebriche su uno spazio vettoriale per includervi l’operazione di prodotto vettoriale esterno: una operazione tra due vettori che produce un terzo vettore. Vedremo in questo video che la ricerca di un prodotto vettoriale esterno porta in modo naturale alla definizione del prodotto geometrico , concetto centrale di una algebra di Clifford, che unifica in una unica formulazione i concetti di prodotto vettoriale interno ed esterno.