Nello spazio vettoriale R2 l’inserimento del prodotto geometrico tra vettori arricchisce la struttura astratta dello spazio vettoriale, che diventa una “algebra” sul campo dei numeri reali. Questa algebra che si basa su uno spazio vettoriale bidimensionale si chiama algebra di Clifford Cl(2).
Gli elementi dell’algebra Cl(2) si chiamano multivettori e si distinguono per “grado”.
I multivettori di grado 0 sono equivalenti ai numeri reali, i multivettori di grado 1 coincidono con i vettori di R2, mentre i bivettori, cioè multivettori di grado due, sono oggetti specifici dell’algebra di Clifford Cl(2) e nascono dal prodotto geometrico di due vettori.
Il prodotto geometrico include sia il prodotto interno che il prodotto esterno in una unica formulazione, il che permette di interpretare le operazioni geometriche di proiezione (prodotto interno) e di misurazione di aree (prodotto esterno) come operazioni elementari di Cl(2).
I numeri complessi, la cui natura vettoriale è incompatibile con lo spazio R2, si rivelano essere multivettori di un sottospazio di Cl(2).
Il prodotto geometrico tra due vettori contemporaneamente riscala e ruota i vettori, e questo permette di identificare un multivettore come un operatore di rotazione che agisce sui vettori senza uso di matrici.